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| 有限要素法（Ｆ．Ｅ．Ｍ）解析理論 |
| ＣＡＥで用いられる有限要素法とは、単純な材料力学では解く事が難しい複雑な形状 や境界条件、変形様相に対して構造を離散化（分割）し、単純なＦ＝ＫＸなるバネの 連成体と考える事で、全体構造を組み立てた後、全体系としての答を出す方法。 計算手法そのものは昔から存在していたが、近年のコンピュータの発展に伴い、最近は この方法が主流。この他にＷＩＮＤＯＷＳ（ＯＳ）の出現も発展の他の理由。 これらのＣＡＥは材料力学等をコンピュータに載せた発展系であり、理論の根底は古来 からの材料力学や固体力学である。 多種類のバネ（＝要素）が解析ソフトに事前準備 されている従来手法の発展系である。バネ（要素）の特性を把握せねば活用を誤る。 |
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| 有限要素法解析において、力や変位のやり取りはすべて節点間どうしであり、要素 は単に、その外形線で、見掛け上の形状を表示しているだけ。 |
| 従って、通常の有限要素法解析を実施した場合、得られるのは、各節点における変位 成分であり、各要素の応力等は要素を構成する全節点の変位量にて｛σ｝＝[B][D]｛δ｝ なる式にて求められる。 （要素内部に想定された変位関数がすべてのベースとなる。） |
| 具体的な有限要素法解析内容説明（難解） ①要素内部の歪成分｛ε｝＝[B]{δ}e ここで[B]は変位－歪マトリクス ｛δ｝ｅは節点変位を表している。 ②応力と変位との関係 ｛σ｝＝[D]｛ε｝＝[Ｂ][Ｄ]｛δ｝ｅ ③要素の剛性マトリクス[K]＝∬[B]T・[D]・[B]・ｔ・ｄＸ・ｄＹ（平面問題） 外部仕事と要素の全容積積分にて求められる全内部仕事を等値すると ｛Ｆ｝ｅ＝（∫[B]T・[D]・[B] d(VOL) ）・｛δ｝ｅ Ｆ ＝ Ｋ ＊ Ｘ （上記式を判りやすく表現した形） ④全体剛性マトリクス[K]への変換 通常各要素の剛性マトリクスは要素座標系にて計算され、其の後、 座標変換マトリクスを用いて全体座標系における数値に換算され、 すべての剛性マトリクスを足し合わせる事となる。 [K]=[T]T・[K]・[T] ⑤この時点で求まる関係式（全体剛性加え合わせ状態） Σ[K]｛Ｘ｝＝Σ｛Ｆ｝ ⑥上記⑤の式における全体剛性マトリクス[K]については重ね合わせた 状態では[K]=0となっている。これは各要素の剛性マトリクスが対称と なっている事による。従って、このままでは変位｛Ｘ｝を求める事が できない。 この為、境界条件を組み込む必要が出てくる。 （境界条件を組み込んだ状態での[K]は、すでにゼロではなく従って、 全体変位｛Ｘ｝を求める事ができる。別の言い方をすると境界条件を 導入せねば解は求まらない。∵｛Ｘ｝＝Σ｛Ｆ｝／ゼロなるが故！） ⑦各要素の応力算出（変位の全体座標系変換は説明上無視する。） この時点で、構造物の各節点における変位｛Ｘ｝が求まっているが、この 変位成分を使って、各要素の応力値が求まる。 ｛σ｝＝[B][D]｛δ｝ 但し｛δ｝は｛Ｘ｝と同じ。 以上により、解析構造物の各節点における変位 及び 各要素における 応力値が求まった事になる。着目点は、まず変位が求まり、その変位の 数値により、要素の応力値が上記⑦式にて算出されるという事であり、 Ｆ＝Ｋ＊Ｘ なる式におけるＸを求める事からすべてが始まる。 |